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第一章 这就是你的极了么（第1页）

函数与极限

函数

D∈R，f:D→?R?y=，X∈D

x自变量，?y因变量，?D，定义域，?值域=

[x]表示：不超过x的最大整数

y=，是符号函数.

函数的几种特X：

1有界X??任意，?存在

上界：?K，≤，一个上界不唯一

=->0?，≤0

下界：??≥一个下界不唯一

有界：?正数M，||≤M.?-M≤≤M

无界：?正数M，?∈x，||>M

2单调X

3奇偶X

D关于原点对称

f-x=?偶?f-x=奇

4周期X??正数L

+L=

最小周期：?y=?周期2π

并非每个周期函数，都有最小周期

例：=1?X∈Q?Q有理数?不存在最小的正有理数周期

=0?X∈Q^无理数

任何正有理数r都是周期

5反函数

设f:D→单S?f^-1:→D

f增f^-1增?f减?f^-1减

f与f^-1关于y=x对称?x只能唯一

6复合函数

y=?t=

y=?t：中间变量

运算：?.?..?D=∩≠?

例：定义域-L，L

=+

任给?偶?奇

f－x=-

偶：=[+f－x]?g-x＝[f-x+]

奇：=[-f-x]?h-x＝-x-]

7初等函数

幂函数：?y=x^a，指函数y=a^x?对函数：y=^x

三角函数.反三角函数.

重点：有限次的运算.复合.

函数的极限

→?a?有限数?x→?a?→b

在的去心邻域内有定义在处可以没有定义

?A.Aε>O，?δ>0，0

|-A|＜ε.

?=A.→→

x→

无穷小与无穷大

无穷小：趋于0、可正可负?O是唯一无穷小的常数

无穷小十无穷小.?无穷小一无穷小

天穷小×无穷小.?C*无穷小

无穷大：+∞，-∞.=∞

x→∞

无穷大，无穷小.

无穷小，无穷大.

极限的运算法则

定理1：两个无穷小之和是无穷小，有限个无穷小之和是无穷小

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

·x=0

x→0

推论：C*无穷小=无穷小.

有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3：=A.?=B

[±]=土=A±B

条件：两者极限存在

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